Иванова Елена Александровна Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Обоснование модели тела-точки общего вида

Рассмотрим тело-точку, инерционные свойства которого характеризуются массой m и двумя шаровыми тензорами инерции. Моменты инерции, определяющие шаровые тензоры инерции, равны mB и mJ. Кинетическая энергия K, количество движения K₁, собственный кинетический момент K₂ и кинетический момент, вычисленный относительно опорной точки Q имеют вид:

Данное тело-точка представляет собой тело-точку общего вида, которое не является абсолютно твердым телом бесконечно малого размера. Дополнительный инерционный параметр B придает этому телу-точке динамические свойства, которыми не обладает абсолютно твердое тело. Движение тела-точки описывается уравнениями динамики Эйлера:

Здесь F(A, A^e) — внешняя сила, M^Q(A, A^e) — внешний момент, вычисленный относительно опорной точки Q. Уравнения динамики Эйлера, записанные в форме, представленной выше, справедливы для любого закрытого тела A (тела, которое не обменивается массой со своим окружением).

Для того чтобы прояснить смысл параметра B, обсудим решение следующей модельной задачи. Рассмотрим материальную систему (см. рисунок), состоящую из корпуса и N твердых тел, присоединенных к корпусу посредством упругих пружин. Для простоты предположим, что все тела могут двигаться только в направлении оси x и вращаться только вокруг оси x. Введем следующие обозначения: m, J — масса и момент инерции корпуса; соответствующие величины с индексом i — масса и момент инерции твердого тела с номером i. Кинематические характеристики системы: перемещение корпуса вдоль оси x, угол поворота корпуса φвокруг оси x, а также перемещение x_i и угол поворота φ_i твердого тела с номером i относительно корпуса. Предполагается, что пружины — это упругие винтовые линии, характерным свойством которых является то, что при закручивании в одном направлении они удлиняются, а при закручивании в противоположном направлении они укорачиваются. Соответственно, при растяжении и сжатии пружины закручиваются в разных направлениях. Предположим, что внутренняя энергия U_i пружины с номером i, а также сила F_i и крутящий момент M_i, моделирующие воздействие пружины с номером i на корпус, имеют вид:

Допустим, что мы можем наблюдать только за движением корпуса, и не можем видеть того, что происходит внутри корпуса. Допустим, что пружины, соединяющие корпус и внутренние тела, достаточно жесткие для того, чтобы период свободных колебаний внутренних тел был бы много меньше характерных времен, связанных с движением корпуса. Допустим также, что мы можем фиксировать с помощью измерительных приборов только усредненные значения величин, характеризующих движение корпуса. Цель дальнейшего исследования состоит в том, чтобы предложить приближенную модель рассматриваемой системы, которая интегрально учитывала бы влияние внутренней структуры на движение корпуса. Начнем с формулировки уравнений движения корпуса и внутренних тел:

Здесь F и M — внешняя сила и внешний момент, действующие на корпус. Анализ уравнений движения показал, что трансляционное и вращательное движения корпуса взаимосвязаны. Если нет внешнего момента, действующего на корпус, и начальная угловая скорость равна нулю, то благодаря внутренней динамике системы корпус начнет вращаться. Если нет внешней силы, действующей на корпус, и начальная скорость равна нулю, то за счет внутренней динамики системы корпус начнет двигаться.

Пример. Рассмотрим движение представленной на рисунке системы под действием внешней силы и крутящего момента, которые линейно зависят от времени. Для простоты предположим, что все внутренние тела имеют одинаковые массы и моменты инерции, внутренние энергии пружин являются квадратичными формами деформаций и все пружины имеют одинаковые жесткости C. В этом случае имеем:

Пусть период колебаний много меньше, чем время наблюдения за процессом движения. В этом случае представляют интерес характеристики движения, усредненные за период. После некоторых формальных преобразований и усреднения по времени за период свободных колебаний внутренних тел, исключим из рассмотрения переменные, характеризующие движение внутренних тела, а для величин, характеризующих движение корпуса, получим следующие уравнения:

Параметры, содержащиеся в приведенных выше уравнениях, сложным образом выражаются через параметры исходной модели. В соответствие с формулировкой фундаментальных законов механики, левые части уравнений движения представляют собой производные от количества движения и кинетического момента. Действительно, если опорная точка Q лежит на оси x, первое слагаемое в выражении для кинетического момента обращается в ноль и в левой части второго закона динамики Эйлера остается производная от собственного кинетического момента. Очевидно, что выражения для количества движения и собственного кинетического момента, фигурирующие в усредненных уравнениях движения, совпадают с выражениями для этих динамических структур тела-точки общего вида, которое не является абсолютно твердым телом бесконечно малого размера.

Вывод. Таким образом, влияние внутренней структуры системы на движение корпуса можно учесть как посредством внутренних сил и моментов, так и посредством дополнительных инерционных параметров, обеспечивающих взаимное влияние трансляционных и вращательных движений. Более подробное описание данной модели можно найти в статье:

• Ivanova E. A. On one model of generalised continuum and its thermodynamical interpretation. Mechanics of generalized Continua (Ed. H. Altenbach, G.A. Maugin, V. Erofeev). Berlin: Springer, 2011. P. 151-174. (400 Kb)

Для просмотра PDF файлов можно загрузить бесплатную версию Adobe Acrobat Reader.

Инструкция для просмотра публикаций